Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол 60 градусов, а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность.

Чтобы найти площадь равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, воспользуемся рядом геометрических свойств и уравнений. Вот как можно решить эту задачу:

Шаг 1: Понимание условий задачи

1. Трапеция равнобокая, и в неё можно вписать окружность. Это значит, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон.
2. Угол между боковой стороной и основанием равен $60^\circ$.
3. Высота трапеции равна $6\sqrt{3}$ см.

Обозначим:

• $AB$ и $CD$ — основания трапеции, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее основание.
• $AD$ и $BC$ — боковые стороны трапеции (они равны, так как трапеция равнобокая), обозначим их через $a$.
• Высота $h = 6\sqrt{3}$ см.

Шаг 2: Найдём боковую сторону

Так как боковая сторона образует с основанием угол $60^\circ$, можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной разности оснований и боковой стороной $a$.

Из геометрических свойств треугольника:

Значение $\cos 60^\circ = 0.5$, значит:

или

Кроме того, в прямоугольном треугольнике:

Значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

Отсюда

Шаг 3: Найдём основания $AB$ и $CD$

Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

Теперь, зная, что $AB - CD = 12$ и $AB + CD = 24$, решим систему уравнений:

1. $AB - CD = 12$
2. $AB + CD = 24$

Сложим уравнения:

Теперь подставим $AB = 18$ в первое уравнение:

Шаг 4: Найдём площадь трапеции

Формула площади трапеции:

Подставим найденные значения:

Ответ

Площадь трапеции равна $72\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.