ABC пересекает шар, AB = m, угол BCA — α, AO = R. Найти OO₁.

Рассмотрим задачу пошагово и подробно. У нас есть:

• Сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

• Треугольник $ABC$, который пересекает шар.

• Дано: $AB = m$, угол $\angle BCA = \alpha$, $AO = R$ (то есть точка $A$ лежит на поверхности шара).

• Требуется найти длину $OO_1$, где $O_1$ — это центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Шаг 1: Разберём геометрию

Раз точка $A$ лежит на сфере, то $AO = R$ — это просто радиус.
Сторона $AB = m$.
Угол $\angle BCA = \alpha$ нам дан — это угол между сторонами $BC$ и $AC$ треугольника.

Нам надо найти расстояние между центром сферы $O$ и центром описанной окружности $O_1$, описанной вокруг треугольника $ABC$.

Шаг 2: Размещение в пространстве

Чтобы упростить задачу, выберем координаты удобно:

• Положим точку $O$ в начале координат: $O(0, 0, 0)$.

• Тогда точка $A$ лежит на расстоянии $R$ от $O$, можно взять её на оси $z$, например: $A(0, 0, R)$.

• Пусть $B$ и $C$ лежат на плоскости (вне оси $z$) и задают плоскость треугольника $ABC$, которая пересекает шар.

Шаг 3: Геометрическая идея

Центр описанной окружности $O_1$ треугольника $ABC$ лежит в той же плоскости, что и треугольник $ABC$. Следовательно, расстояние $OO_1$ — это расстояние от центра шара до плоскости треугольника $ABC$, по сути — высота от центра сферы до плоскости треугольника.

А поскольку $A$ лежит на поверхности сферы, то вектор $\vec{OA}$ перпендикулярен касательной плоскости в точке $A$, и, следовательно, если треугольник $ABC$ пересекает сферу и проходит через $A$, он тоже может быть в плоскости, наклонённой под некоторым углом к радиусу.

Шаг 4: Найдём $OO_1$ через радиус описанной окружности

Есть полезная формула для радиуса описанной окружности $R_{ABC}$ треугольника:

Точка $O_1$ — центр этой окружности, лежащей в плоскости $ABC$. Теперь найдём расстояние $OO_1$.

Треугольник $OAO_1$ — это треугольник, в котором:

• $AO = R$ — радиус шара.

• $AO_1$ — расстояние от точки $A$ до центра описанной окружности треугольника $ABC$.

• Угол между $AO$ и $AO_1$ равен $\theta = \angle OAO_1$, который равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$, так как $\angle BCA = \alpha$, и треугольник можно рассматривать в пространстве.

Теперь в треугольнике $OAO_1$, по теореме косинусов:

Подставляем:

• $AO = R$

• $AO_1 = R_{ABC} = \frac{m}{2 \sin \alpha}$

• $\angle OAO_1 = \frac{\pi}{2} - \alpha \Rightarrow \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$