Докажите, что каждый катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. По определению, это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90 градусам. Пусть в этом треугольнике катеты обозначаются как $a$ и $b$, а гипотенуза — как $c$. Гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

Для доказательства воспользуемся теоремой Пифагора. Она гласит:

Из этого равенства видно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Допустим, что один из катетов, скажем, $a$, равен или больше гипотенузы $c$. Тогда возможны два случая:

1. Если $a = c$:
   Подставим это в теорему Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = a^2 \Rightarrow b^2 = 0 \Rightarrow b = 0$$

   Но это невозможно, потому что в треугольнике длина стороны не может быть равна нулю. Значит, наш допуск неверен.

2. Если $a > c$:
   Тогда $a^2 > c^2$. Подставим это в теорему Пифагора:

   $$a^2 + b^2 > c^2 + b^2 = c^2 + b^2$$

   Но это противоречит изначальному равенству $a^2 + b^2 = c^2$. Следовательно, наше предположение неверно.

Таким образом, катет не может быть ни равен, ни больше гипотенузы. Значит, любой катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы.