Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке E, а другая — катет BC в точке F. Найдите гипотенузу AB, если EF = 9 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ и катетами $AC$ и $BC$. Пусть точка $D$ — середина гипотенузы $AB$. Через точку $D$ проведены прямые, параллельные катетам $AC$ и $BC$, которые пересекают $AC$ в точке $E$ и $BC$ в точке $F$. По условию известно, что $EF = 9$ см, и требуется найти длину гипотенузы $AB$.

Шаг 1: Анализ параллельных линий и подобия треугольников

Так как прямые $DE$ и $DF$ параллельны катетам $AC$ и $BC$ соответственно, то четырехугольник $ADEF$ является прямоугольником. В этом случае $DE = \frac{1}{2}AC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$, поскольку точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, и линии параллельны катетам.

Шаг 2: Подобие треугольников

Треугольник $DEF$ является уменьшенной копией треугольника $ABC$, так как все его стороны параллельны сторонам $ABC$ и пропорциональны им. Коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$, потому что $D$ — середина гипотенузы, а стороны $DE$ и $DF$ параллельны и равны половинам соответствующих катетов.

Шаг 3: Выражение $EF$ через гипотенузу $AB$

Поскольку $DEF \sim ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$, то

По условию $EF = 9$ см, следовательно,

Шаг 4: Нахождение гипотенузы $AB$

Теперь умножим обе стороны уравнения на 2:

Ответ

Гипотенуза $AB$ треугольника $ABC$ равна $18$ см.