Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями 10 и 24. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть вершины основания — ромба — лежат в плоскости $Oxy$, а высота прямого параллелепипеда направлена вдоль $Oz$.

1. Характеристики ромба

• Диагонали: $d_1 = 10$, $d_2 = 24$.

• Полуполовины диагоналей: $\frac{d_1}{2}=5,\; \frac{d_2}{2}=12$.

• Сторона ромба:

  $$a=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$$

• Периметр основания: $P = 4a = 52$.

• Площадь основания:

  $$S_{\text{осн}} = \frac{d_1 d_2}{2}= \frac{10\cdot24}{2}=120.$$

2. Высота параллелепипеда

Из четырёх пространственных диагоналей две короче других. Их горизонтальная проекция — меньшая диагональ ромба длиной 10.
Для угла $\varphi$ между диагональю и плоскостью основания выполняется

При $\varphi = 45^{\circ}$ имеем $\tan45^{\circ}=1$, значит

3. Площадь боковой поверхности

4. Полная площадь поверхности

Ответ: $760$.