Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADCA₁, если AC = 13 см, DC = 5 см, AA₁ = 12√3 см.

Для нахождения двугранного угла между плоскостями, содержащими грани ADCA₁ и ACDA₁, нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCDA₁B₁C₁D₁, где нам даны следующие данные:

• AC = 13 см,

• DC = 5 см,

• AA₁ = 12√3 см.

Шаг 1: Найдем координаты точек

Предположим, что прямоугольный параллелепипед ориентирован таким образом, что одна из вершин находится в начале координат, а ребра параллельны осям координат. Пусть точка A будет в начале координат (0, 0, 0), тогда:

• Точка D будет на оси X: D(5, 0, 0),

• Точка C будет на оси Z: C(0, 5, 0),

• Точка A₁ будет на оси Y: A₁(0, 0, 12√3).

Шаг 2: Векторы, определяющие плоскости

Плоскость ADCA₁ образуется векторами AD и AA₁. Рассчитаем эти векторы:

• Вектор AD = D - A = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0),

• Вектор AA₁ = A₁ - A = (0, 0, 12√3) - (0, 0, 0) = (0, 0, 12√3).

Для плоскости ACDA₁ берем вектора AC и AA₁:

• Вектор AC = C - A = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0),

• Вектор AA₁ = тот же самый вектор, что и выше: (0, 0, 12√3).

Шаг 3: Нахождение нормалей к плоскостям

Нормали к плоскостям можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этих плоскостях.

Для плоскости ADCA₁ нормаль будет определяться векторным произведением векторов AD и AA₁:

Для плоскости ACDA₁ нормаль будет определяться векторным произведением векторов AC и AA₁:

Шаг 4: Нахождение двугранного угла

Двугранный угол между плоскостями определяется как угол между их нормалями. Для этого используем формулу для угла между двумя векторами:

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$:

Теперь найдем длины векторов $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$: