Сформулируйте и докажите теорему об отношений площадей подобных треугольников

Теорема об отношениях площадей подобных треугольников гласит, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон этих треугольников.

Формулировка теоремы:

Пусть два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ подобны. Тогда отношение их площадей можно выразить как:

где $S_1$ и $S_2$ — площади треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, а $AB, AC, BC$ и $A'B', A'C', B'C'$ — соответствующие стороны этих треугольников.

Доказательство:

1. Поскольку треугольники подобны, то их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. То есть существует некоторое число $k$, такое что:

2. Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту. Например, для треугольника $\triangle ABC$ площадь можно записать как:

где $h$ — высота, проведенная к стороне $AB$.

Аналогично, для треугольника $\triangle A'B'C'$ площадь будет:

где $h'$ — высота, проведенная к стороне $A'B'$.

3. Так как треугольники подобны, то высоты этих треугольников также пропорциональны, то есть:

4. Подставив пропорциональные стороны и высоты в выражения для площадей, получаем:

5. Таким образом, отношение площадей будет:

Что и требовалось доказать.