Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Для того чтобы доказать, что диагонали прямоугольника равны, рассмотрим следующие шаги:

1. Определение прямоугольника: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по 90°).

2. Свойства прямоугольника: У прямоугольника противоположные стороны равны по длине. Пусть одна из сторон будет длины $a$, а другая — $b$.

3. Рассмотрим диагонали: Диагонали прямоугольника соединяют противоположные вершины. Пусть $AC$ и $BD$ — это диагонали прямоугольника.

4. Применение теоремы Пифагора: Так как прямоугольник состоит из прямых углов, то каждый из треугольников, образованных двумя сторонами прямоугольника и диагональю, является прямоугольным. Например, треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$ и катетами $AB$ и $BC$. Согласно теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

   $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

   Поскольку $AB = a$ и $BC = b$, получаем:

   $$AC^2 = a^2 + b^2$$

5. Аналогично для второй диагонали: Треугольник $ABD$ является прямоугольным, и для его гипотенузы $BD$ также верно:

   $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$

   Поскольку $AB = a$ и $AD = b$, получаем:

   $$BD^2 = a^2 + b^2$$

6. Сравнение диагонал: Мы видим, что для диагонал прямоугольника выполняются одинаковые равенства:

   $$AC^2 = a^2 + b^2 \quad \text{и} \quad BD^2 = a^2 + b^2$$

   Следовательно, $AC^2 = BD^2$, что означает, что $AC = BD$.

Таким образом, мы доказали, что диагонали прямоугольника равны между собой.