Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямой АС и плоскостью CC1D1D.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно воспользоваться понятием угла между прямой и нормалью к плоскости.

Давайте рассмотрим задачу:

У нас есть куб ABCDA1B1C1D1. Пусть его вершины имеют следующие координаты:

• A (0, 0, 0)

• B (1, 0, 0)

• C (1, 1, 0)

• D (0, 1, 0)

• A1 (0, 0, 1)

• B1 (1, 0, 1)

• C1 (1, 1, 1)

• D1 (0, 1, 1)

Нужно найти угол между прямой $AC$ и плоскостью $CC1D1D$.

1. Прямая $AC$ соединяет вершины A и C. Ее направляющий вектор можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

   $$\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$$

2. Теперь найдем уравнение плоскости $CC1D1D$. Вершины этой плоскости — точки $C(1, 1, 0)$, $C1(1, 1, 1)$, $D1(0, 1, 1)$, $D(0, 1, 0)$.

3. Для нахождения нормали к плоскости используем два вектора, лежащих в плоскости. Например, вектор $\vec{CC1}$ и вектор $\vec{CD}$:

   $$\vec{CC1} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$$ $$\vec{CD} = (0-1, 1-1, 0-0) = (-1, 0, 0)$$

4. Теперь вычислим векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

   $$\vec{n} = \vec{CC1} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

   В результате:

   $$\vec{n} = (0, 1, 0)$$

   Это нормаль к плоскости $CC1D1D$.

5. Угол между прямой и плоскостью можно найти через угол между прямой и нормалью к плоскости. Для этого используем формулу для угла между векторами:

   $$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{n}|}$$

6. Сначала находим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{n}$:

   $$\vec{AC} \cdot \vec{n} = (1, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1$$

7. Теперь находим длины векторов $\vec{AC}$ и $\vec{n}$:

   $$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$$