Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135 градусам, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найти площадь трапеции.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, давайте рассмотрим все данные и применим соответствующие геометрические закономерности.

1. Определение элементов трапеции:

   • Пусть трапеция ABCD, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее основание, $AD = BC$ — боковые стороны, и $h$ — высота.

   • Из условия задачи известно, что тупой угол (угол между боковой стороной и основанием) равен 135°.

   • Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка: 1,4 см и 3,4 см. Таким образом, одно из оснований, большее основание $AB$, делится на два отрезка. Пусть они будут $x_1 = 1,4$ см и $x_2 = 3,4$ см.

2. Находим длину большего основания:
   Длина большего основания $AB = x_1 + x_2 = 1,4 + 3,4 = 4,8 \, \text{см}$.

3. Используем геометрические свойства:
   Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны $AD$ и $BC$ равны. Высота, проведённая из вершины тупого угла, перпендикулярно делит большее основание и создаёт два прямоугольных треугольника. Угол между боковой стороной и основанием равен 135°, что означает, что угол между боковой стороной и высотой (который лежит в одном из прямоугольных треугольников) равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Это означает, что угол между высотой и боковой стороной — 45°.

4. Преобразование через тригонометрию:
   Для нахождения длины боковой стороны воспользуемся тригонометрией. Высота $h$ является катетом прямоугольного треугольника, а угол между боковой стороной и высотой равен 45°. Таким образом, используя тангенс угла 45° (который равен 1), мы получаем:

   $$\tan 45^\circ = \frac{h}{x_1} = 1 \quad \Rightarrow \quad h = x_1 = 1,4 \, \text{см}.$$

5. Площадь трапеции:
   Площадь трапеции можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h.$$

   Из условия задачи известно, что меньшее основание $CD$ можно найти, вычтя отрезки, на которые высота делит большее основание, из длины большего основания:

   $$CD = x_2 = 3,4 \, \text{см}.$$

   Теперь, подставим все значения в формулу для площади:

   $$S = \frac{1}{2} \times (4,8 + 3,4) \times 1,4 = \frac{1}{2} \times 8,2 \times 1,4 = 5,74 \, \text{см}^2.$$

Ответ: Площадь трапеции равна 5,74 см².