В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями боковая сторона равна 26 см.Высота,проведенная из вершины тупого угла,делит большее основание на отрезки,меньший из которых равен 24 см.Найдите площадь трапеции.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями, нам нужно использовать известные данные: боковая сторона равна 26 см, меньший отрезок на большом основании равен 24 см.

1. Определим параметры трапеции: Обозначим трапецию ABCD, где AB — большее основание, CD — меньшее основание, AD и BC — боковые стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, мы можем обозначить ее основания следующим образом:

   • $CD = x$ (меньшее основание)
   • $AB = 24 + a$, где $a$ — это длина большего отрезка, который мы хотим найти.

2. Высота трапеции: Высота $h$, проведенная из вершины тупого угла D к основанию AB, будет перпендикулярна основанию и делит его на два отрезка. Поскольку боковые стороны равны и диагонали перпендикулярны, у нас есть прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком, проведенным к основанию.

3. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике $ADH$ (где H — основание высоты), по теореме Пифагора имеем:

   $$AD^2 = AH^2 + DH^2$$

   Здесь $AD = 26$ см, $AH = 24$ см. Подставим известные значения:

   $$26^2 = 24^2 + h^2$$ $$676 = 576 + h^2$$ $$h^2 = 676 - 576 = 100$$ $$h = 10 \text{ см}$$

4. Длина большего основания: Теперь найдем длину большего основания. Известно, что $DH = a$ и $AH = 24$ см. Поскольку у нас равнобедренная трапеция, то $a$ равно $DH$:

   $$AB = 24 + a$$

   Мы уже определили, что высота и меньший отрезок делят основание. Таким образом, $a$ можно найти через $h$:

   $$a = \sqrt{AD^2 - h^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$$

   Тогда длина большего основания:

   $$AB = 24 + 24 = 48 \text{ см}$$

5. Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}$$

   Подставим найденные значения:

   $$S = \frac{(48 + 24) \cdot 10}{2} = \frac{72 \cdot 10}{2} = \frac{720}{2} = 360 \text{ см}^2$$

Таким образом, площадь данной равнобедренной трапеции составляет 360 см².