Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и формулами, связанными с вписанными окружностями.

Дано:

1. $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник ($\angle C = 90^\circ$).
2. Проведена высота $CP$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.
3. Радиус вписанной окружности в $\triangle ACP$ равен $r_{ACP} = 12$ см.
4. Тангенс угла $\angle ABC$ равен $\tan \angle ABC = 2.4$.

Требуется найти радиус вписанной окружности $r_{ABC}$ треугольника $ABC$.

Шаг 1. Связь сторон треугольника через тангенс.

Пусть $AC = a$ и $BC = b$. Тогда:

Из условия:

Шаг 2. Найдем радиус вписанной окружности в $\triangle ABC$.

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике $ABC$ выражается через его стороны и площадь:

где $a, b, c$ — катеты и гипотенуза треугольника $ABC$.

Шаг 3. Выразим стороны $\triangle ABC$ через $a$.

1. $AC = a$,
2. $BC = b = 2.4a$,
3. Гипотенуза $AB = c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (2.4a)^2} = \sqrt{a^2 + 5.76a^2} = \sqrt{6.76a^2} = \sqrt{6.76}a = 2.6a$ (приближенно).

Шаг 4. Найдем $r_{ABC}$.

Подставим выражения для сторон в формулу радиуса:

Шаг 5. Найдем связь между $a$ и известным $r_{ACP}$.

Рассмотрим $\triangle ACP$. Радиус вписанной окружности в этот треугольник выражается как:

где $p_{ACP}$ — полупериметр $\triangle ACP$.

1. Полупериметр:

Пусть $CP = h$, а $AP$ выражается через теорему Пифагора:

Тогда: