Дано: ABCD - параллелограмм, АК - биссектриса. Доказать: треугольник АВК - равнобедренный​

Чтобы доказать, что треугольник $ABK$ является равнобедренным, рассмотрим свойства параллелограмма и свойства биссектрисы.

1. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны, а также противоположные углы равны. Обозначим стороны $AB$ и $CD$ как равные, а стороны $AD$ и $BC$ также как равные.

2. Биссектрисы: В данной задаче $AK$ — это биссектрисa угла $\angle DAB$. Это означает, что $AK$ делит угол $\angle DAB$ на два равных угла. Таким образом, мы можем записать:

   $$\angle DAB = \angle KAB$$

3. Углы треугольника $ABK$: Теперь, учитывая, что в параллелограмме $AB = CD$ и $AD = BC$, мы можем рассмотреть углы в треугольнике $ABK$. У нас есть:

   $$\angle DAB = \angle KAB$$

   Из этого следует, что:

   $$\angle DAB = \angle KAB$$

   Поэтому, треугольник $ABK$ будет равнобедренным, если его основание $AB$ равно другому катету $AK$.

4. Сравнение сторон: Из свойств параллелограмма $AB = CD$ и поскольку $K$ — точка на стороне $CD$, то и стороны $AK$ и $BK$ будут равны:

   $$AB = AK$$

5. Заключение: Таким образом, мы доказали, что треугольник $ABK$ является равнобедренным, поскольку его две стороны $AB$ и $AK$ равны. Также углы при основании $ABK$ равны, что и требовалось доказать.

В итоге, используя свойства параллелограмма и биссектрисы, мы уверенно пришли к выводу, что треугольник $ABK$ является равнобедренным.