Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный, нужно рассмотреть геометрическую сущность медианы и высоты.

1. Определения:

   • Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

   • Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).

2. Условие задачи:
   Медиана треугольника является его высотой. Это означает, что медиана перпендикулярна к стороне треугольника, с которой она соединяется. В данном случае медиана, проходя через одну из вершин, пересекает противоположную сторону под прямым углом.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$:
   Пусть медиана $BM$ пересекает сторону $AC$ в её середине, и при этом она перпендикулярна этой стороне, то есть $BM \perp AC$.

4. Следствие из перпендикулярности медианы:
   Поскольку медиана является высотой, это означает, что точка $M$, на которой медиана пересекает сторону $AC$, является точкой на прямой, которая перпендикулярна стороне $AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ имеет два равных угла у вершин $A$ и $C$, так как прямой угол при вершине $B$ и равенство длин отрезков $AM$ и $CM$ (поскольку $M$ — середина стороны $AC$) создают зеркальную симметрию относительно медианы.

5. Доказательство равнобедренности:
   Поскольку медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам и является перпендикулярной этой стороне, то треугольники $ABM$ и $CBM$ являются прямоугольными и равными по гипотенузам $AB = CB$ и катетам $BM$, $AM = CM$. Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CB$, что доказывает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Таким образом, если медиана треугольника является его высотой, то треугольник обязательно равнобедренный.