Основания равнобедренной трапеции. Основания равнобедренной трапеции равны 33 и75, боковая сторона 75. Найдите длину диагонали трапеции.

Для того чтобы найти длину диагонали равнобедренной трапеции, нужно использовать геометрические свойства трапеции и теорему Пифагора.

1. Дано:

   • Длина одного основания трапеции $AB = 75$.

   • Длина другого основания $CD = 33$.

   • Длина боковой стороны $AD = BC = 75$.

2. Подход к решению:
   Известно, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и они наклонены под одинаковым углом к основаниям. Для упрощения решения проведём перпендикуляры из вершин $C$ и $D$ на основание $AB$, обозначим их как $CM$ и $DN$, где точки $M$ и $N$ лежат на основании $AB$. Поскольку трапеция равнобедренная, то расстояние между основаниями будет одинаковым для обеих сторон, то есть $AM = BN$.

3. Рассмотрим длину отрезка $AM$:
   Длина отрезка $AB$ равна $75$, и она состоит из суммы длин отрезков $AM$, $MN$ и $NB$. Так как трапеция равнобедренная, то $AM = BN$, а $MN$ равна разности длин оснований: $MN = AB - CD = 75 - 33 = 42$.

4. Находим $AM$ и $BN$:
   Поскольку $AM = BN$ и $MN = 42$, то длина каждого из отрезков $AM$ и $BN$ будет равна $\frac{75 - 42}{2} = 16.5$. Таким образом, $AM = BN = 16.5$.

5. Используем теорему Пифагора для треугольника $ADM$:
   В прямоугольном треугольнике $ADM$ гипотенуза $AD = 75$, катет $AM = 16.5$, а другой катет — это высота трапеции. Обозначим её как $h$. Тогда по теореме Пифагора:

   $$AD^2 = AM^2 + h^2$$

   Подставим известные значения:

   $$75^2 = 16.5^2 + h^2$$ $$5625 = 272.25 + h^2$$ $$h^2 = 5625 - 272.25 = 5352.75$$ $$h = \sqrt{5352.75} \approx 73.2$$

6. Находим длину диагонали трапеции:
   Теперь, зная высоту трапеции, можно найти длину диагонали, используя теорему Пифагора для треугольника $ABD$, где $AB = 75$, $AD = 75$, и высота $h = 73.2$. Применяем теорему Пифагора:

   $$BD^2 = AB^2 + h^2$$ $$BD^2 = 75^2 + 73.2^2 = 5625 + 5360.64 = 10985.64$$ $$BD = \sqrt{10985.64} \approx 104.8$$

Таким образом, длина диагонали трапеции примерно равна 104.8.