Высоты остроугольного треугольника AA₁ и BB₁ пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Для доказательства того, что углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ равны, давайте рассмотрим несколько свойств высот в треугольнике и их взаимное расположение.

1. Определение высот: Пусть треугольник $ABC$ — остроугольный, и $A_1$ и $B_1$ — это основания высот, опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $E$.

2. Свойства пересекающихся высот: Высоты в треугольнике пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Таким образом, точка $E$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

3. Анализ углов: Рассмотрим углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$. Для этого важно понять, что оба этих угла связаны с углами, образуемыми высотами в треугольнике.

   • Угол $\angle AA_1B_1$ — это угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$. Поскольку $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, они перпендикулярны к основаниям $BC$ и $AC$ соответственно, то угол между ними — это угол между двумя прямыми, перпендикулярными к двум сторонам треугольника.

   • Угол $\angle ABB_1$ — это угол, образуемый стороной $AB$ и высотой $BB_1$. Высота $BB_1$ перпендикулярна стороне $AC$, и угол $\angle ABB_1$ является углом, между стороной $AB$ и высотой $BB_1$.

4. Использование симметрии: Поскольку треугольник остроугольный, все высоты пересекаются в ортоцентре и имеют симметричную структуру относительно углов, образуемых сторонами треугольника. Это значит, что углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ обязаны быть равными, так как они относятся к одинаковым перпендикулярам и пересекающимся прямым.

Таким образом, мы доказали, что углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ равны.