Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на её большем основании. Боковая сторона трапеции равна 15, радиус окружности — 12,5. Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим трапецию, около которой описана окружность. Пусть трапеция $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания, причём $AB > CD$, и именно на $AB$ лежит центр описанной окружности. Известно, что:

• боковая сторона $AD = BC = 15$,

• радиус описанной окружности $R = 12{,}5$,

• центр окружности лежит на большем основании $AB$.

Шаг 1: Свойства описанной окружности около трапеции

Около трапеции можно описать окружность только в одном случае: когда трапеция равнобокая, то есть её боковые стороны равны, и сумма оснований равна сумме противоположных сторон (в равнобокой трапеции это автоматически выполняется).

Ещё одно ключевое свойство: если около трапеции описана окружность, то сумма её противоположных углов равна 180°.

Центр описанной окружности находится на пересечении середин всех сторон — в равнобокой трапеции он лежит на оси симметрии и на пересечении диагоналей. Но по условию — центр лежит на большем основании, это значит, что он лежит на середине основания $AB$.

А поскольку центр лежит на основании и на равном расстоянии от концов боковых сторон, то треугольники, образованные радиусами и боковыми сторонами, являются равнобедренными.

Шаг 2: Построим картину

Пусть центр окружности — точка $O$, лежащая на основании $AB$, в его середине. Радиусы $OA$ и $OD$ равны $12{,}5$, и соединяются с вершинами трапеции.

Тогда треугольник $OAD$ — прямоугольный, где:

• гипотенуза $AD = 15$,

• катет $OA = 12{,}5$,

• катет $OD = h$ — высота трапеции.

Найдём высоту по теореме Пифагора:

Посчитаем:

Шаг 3: Найдём основание $CD$

Так как $O$ — центр окружности и он находится в середине $AB$, то и точка $O$ симметрична относительно середины трапеции. Значит, треугольник $OBC$ тоже прямоугольный и равен $OAD$. Поэтому расстояние между $A$ и $B$ (большее основание) — это удвоенное основание прямоугольного треугольника:

А основание $CD$ равно расстоянию между двумя точками, на которые из центра $O$ под прямым углом опущены перпендикуляры длиной $h$. Эти точки — $C$ и $D$. Расстояние между ними — та же длина, что и основание нижнего треугольника, то есть такой же отрезок, как между основаниями треугольника $OAD$.

В треугольнике $OAD$, найдём основание через синус:

Тогда угол $\theta$ ≈ 33{,}5°, и основание $CD$ будет:

Или можно иначе — через геометрию треугольников, получим, что $CD = 2 \cdot x$, где $x$ — основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 15 и высотой $8{,}29$. Тогда:

Получается, $AB = CD = 25$ — противоречие, значит основание $CD$ — не 25. Скорее всего, мы где-то неверно выбрали подход. Переформулируем:

Шаг 4: Используем геометрию треугольников

Всё проще, если знать одну хитрость:

Если в трапеции около которой описана окружность, центр лежит на основании, то трапеция вписывается в окружность диаметра $AB = 2R$. Значит:

Теперь найдём высоту, как выше: