В трапецию, периметр которой равен 36 дм, вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Для того чтобы найти среднюю линию трапеции, необходимо учитывать, что в трапеции, в которую вписана окружность, выполняется определённое условие: сумма длин её оснований равна удвоенной длине средней линии.

1. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее основание. Средняя линия трапеции будет обозначена как $m$, и по условию задачи её длина равна средней арифметической этих оснований:

2. Периметр трапеции равен 36 дм, и периметр трапеции с вписанной окружностью выражается как сумма всех её сторон:

где $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции.

3. В трапеции с вписанной окружностью выполняется равенство:

Это значит, что сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Тогда из уравнения для периметра можно записать:

и, учитывая, что $a + b = c + d$, получаем:

Таким образом, $a + b = 18$.

4. Теперь, зная, что $a + b = 18$, мы можем найти среднюю линию трапеции:

Ответ: Средняя линия трапеции равна 9 дм.