В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 14, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Для решения задачи воспользуемся следующим важным свойством трапеции, в которую можно вписать окружность: суммы длин противоположных сторон трапеции равны. Это следует из того, что окружность вписана, и поэтому суммы касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть $AB = a$, $CD = b$, $AD = c$, $BC = d$. Согласно свойству трапеции с вписанной окружностью, выполняется:

По условию задачи, сумма длин боковых сторон равна 14, то есть:

Тогда, исходя из свойства, сумма оснований трапеции также равна 14:

Средняя линия трапеции определяется как полусумма длин её оснований:

Подставляем $a + b = 14$:

Таким образом, длина средней линии трапеции равна 7.