Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

Для решения этой задачи обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, где $c$ — это третья сторона, к которой проведена биссектриса. Пусть биссектриса делит сторону $c$ в отношении 5:8, то есть одна часть этой стороны будет равна $\frac{5}{13}c$, а другая — $\frac{8}{13}c$, где $13 = 5 + 8$.

Кроме того, известно, что сумма двух сторон треугольника равна 91 см, то есть:

Биссектриса делит угол при вершине, а также делит противоположную сторону в определенном отношении. Это отношение связано с длинами сторон $a$ и $b$, и оно можно выразить через теорему о биссектрисе:

Из этого выражения можно найти связь между сторонами $a$ и $b$. Пусть $a = \frac{5}{8}b$. Подставим это в уравнение суммы сторон:

Объединяем выражения:

Теперь умножим обе стороны на 8:

Теперь найдём $a$, подставив значение $b = 56$ в выражение $a = \frac{5}{8}b$:

Таким образом, длины сторон треугольника $a$ и $b$ равны 35 см и 56 см.