Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 11 см, 25 см и 30 см.

Для нахождения наибольшей высоты треугольника с заданными сторонами, нужно сначала вычислить площадь этого треугольника, а затем использовать её для нахождения высоты.

1. Вычисление полупериметра:
   Полупериметр треугольника (обозначим его $p$) можно найти по формуле:

   $$p = \frac{a + b + c}{2}$$

   где $a = 11$ см, $b = 25$ см, $c = 30$ см — это стороны треугольника.

   Подставим значения:

   $$p = \frac{11 + 25 + 30}{2} = \frac{66}{2} = 33 \, \text{см}$$

2. Вычисление площади треугольника по формуле Герона:
   Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

   $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

   Подставим значения:

   $$S = \sqrt{33(33 - 11)(33 - 25)(33 - 30)} = \sqrt{33 \times 22 \times 8 \times 3}$$

   Сначала посчитаем произведение:

   $$33 \times 22 = 726, \quad 726 \times 8 = 5808, \quad 5808 \times 3 = 17424$$

   Теперь извлечем квадратный корень:

   $$S = \sqrt{17424} \approx 132 \, \text{см}^2$$

3. Вычисление высоты:
   Площадь треугольника также можно выразить через его основание и высоту:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   Мы можем найти высоту, используя одну из сторон в качестве основания. Для нахождения наибольшей высоты удобно взять в качестве основания наибольшую сторону треугольника, то есть 30 см.

   Подставим в формулу для площади:

   $$132 = \frac{1}{2} \times 30 \times h$$

   Где $h$ — это высота, которую нужно найти. Умножим обе части уравнения на 2:

   $$264 = 30 \times h$$

   Разделим на 30:

   $$h = \frac{264}{30} \approx 8,8 \, \text{см}$$

Таким образом, наибольшая высота треугольника равна примерно 8,8 см.