Диагональ АС трапеции АВСD (АВ II СD) делит её на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции АВСD, если АВ=25 см, ВС=20 см, АС=15 см.

Для решения задачи, воспользуемся свойствами трапеции и подобных треугольников.

1. Условия задачи:

   • Трапеция $ABCD$ с основаниями $AB \parallel CD$.

   • Диагональ $AC$ делит трапецию на два подобных треугольника $ABC$ и $ACD$.

   • Даны размеры:

     • $AB = 25$ см,

     • $BC = 20$ см,

     • $AC = 15$ см.

2. Применение теоремы о подобных треугольниках:
   Из условия задачи мы знаем, что диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника, которые подобны. В частности, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ACD$.

   Поскольку треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Рассмотрим отношение сторон:

   $$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{25}{15} = \frac{20}{CD}$$

   Отсюда находим длину $CD$:

   $$CD = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12 \text{ см}.$$

3. Нахождение высоты трапеции:
   Теперь, зная длины оснований трапеции $AB = 25$ см и $CD = 12$ см, можно использовать формулу для площади трапеции. Однако для этого нужно найти высоту $h$ трапеции.

   Используем теорему Пифагора для треугольника $ABC$, где $AB = 25$, $BC = 20$, а $AC = 15$:

   $$h^2 + \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 = BC^2.$$

   Подставляем значения:

   $$h^2 + \left(\frac{25 - 12}{2}\right)^2 = 20^2,$$ $$h^2 + \left(\frac{13}{2}\right)^2 = 400,$$ $$h^2 + 42.25 = 400,$$ $$h^2 = 400 - 42.25 = 357.75,$$ $$h = \sqrt{357.75} \approx 18.91 \text{ см}.$$

4. Нахождение площади трапеции:
   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h.$$

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (25 + 12) \cdot 18.91 = \frac{1}{2} \cdot 37 \cdot 18.91 \approx 349.85 \text{ см}^2.$$

Ответ: площадь трапеции $ABCD$ примерно равна 349.85 см².