Найдите площадь диагонального сечения правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если её высота √2 см, а стороны оснований 1 см и 4 см.

Для нахождения площади диагонального сечения правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, нужно провести несколько шагов.

1. Определим параметры усечённой пирамиды.
   У нас есть правильная усечённая четырёхугольная пирамида, где:

   • высота пирамиды $h = \sqrt{2}$ см,

   • стороны оснований: одна сторона меньшего квадрата (верхнего основания) $a_1 = 1$ см, а другой большей стороны (нижнего основания) $a_2 = 4$ см.

2. Что такое диагональное сечение?
   Диагональное сечение пирамиды — это плоскость, которая проходит через вершину пирамиды и два противоположных угла оснований. Такая плоскость будет перпендикулярна основанию пирамиды.

3. Определим форму сечения.
   Диагональное сечение правильной усечённой пирамиды будет трапецией. Эта трапеция будет иметь:

   • основание $a_1 = 1$ см (верхнее основание),

   • основание $a_2 = 4$ см (нижнее основание),

   • высоту $h = \sqrt{2}$ см (высота пирамиды).

4. Найдем площадь трапеции.
   Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot h$$

   Подставим значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (1 + 4) \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, \text{см}^2$$

Таким образом, площадь диагонального сечения правильной усечённой четырёхугольной пирамиды составляет $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ см².