Стороны треугольника 8 см, 10 см и 12 см. Найдите периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Для начала нужно понять, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон исходного треугольника, называется треугольником середины. Его стороны равны половине длин сторон исходного треугольника. Это следствие теоремы о серединах (или теоремы о средней линии).

Даны стороны исходного треугольника: 8 см, 10 см и 12 см.

1. Периметр нового треугольника:
   Так как стороны нового треугольника равны половине длин сторон исходного, периметр нового треугольника можно найти как сумму половин длин сторон исходного треугольника:

   $$P_{\text{нового}} = \frac{8}{2} + \frac{10}{2} + \frac{12}{2} = 4 + 5 + 6 = 15 \, \text{см}$$

2. Площадь нового треугольника:
   Площадь треугольника середины можно найти, используя факт, что площадь треугольника середины равна четверти площади исходного треугольника. Для этого сначала находим площадь исходного треугольника.

   Для расчета площади используем формулу Герона:

   $$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 10 + 12}{2} = 15 \, \text{см}$$

   где $a = 8$, $b = 10$, $c = 12$.

   Теперь используем формулу для площади по полупериметру:

   $$A_{\text{исходного}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3}$$ $$A_{\text{исходного}} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = \sqrt{1575} \approx 39.686 \, \text{см}^2$$

   Площадь нового треугольника будет:

   $$A_{\text{нового}} = \frac{1}{4} \times A_{\text{исходного}} = \frac{1}{4} \times 39.686 \approx 9.922 \, \text{см}^2$$

Итак, периметр нового треугольника составляет 15 см, а его площадь примерно 9.92 см².