Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 40 см и 10 см. Найти катеты треугольника.

Задача на прямоугольный треугольник, в котором проведена высота, делящая гипотенузу на два отрезка. Нужно найти катеты треугольника, зная длины этих отрезков. Рассмотрим пошаговое решение.

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты $a$ и $b$, а гипотенузу $c$. Высота, проведённая к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка длиной 40 см и 10 см. Пусть длины этих отрезков обозначаются как $x = 40$ см и $y = 10$ см.

Шаг 1: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Эти треугольники подобны исходному прямоугольному треугольнику. Из свойств подобия можно записать следующие соотношения:

Также известно, что произведение длины высоты на гипотенузу равно произведению катетов треугольника:

Шаг 2: Использование теоремы Пифагора

Из теоремы Пифагора для исходного треугольника мы знаем, что:

Шаг 3: Решение системы уравнений

Решив систему уравнений, можно найти значения катетов $a$ и $b$.