В треугольнике ABC известно, что угол C=90°, угол A=30°, отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM=6 см.

В треугольнике ABC угол C = 90°, угол A = 30°, а отрезок BM является биссектрисой угла B. Задача состоит в том, чтобы найти длину катета AC, если известно, что BM = 6 см.

1. Определение углов треугольника:

   • Так как угол C = 90° и угол A = 30°, то угол B = 180° - 90° - 30° = 60°.

2. Используем свойства треугольника:

   • Треугольник ABC прямоугольный с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике стороны имеют фиксированные отношения:

     • Катет напротив угла 30° (AC) в два раза меньше гипотенузы.

     • Катет напротив угла 60° (BC) равен гипотенузе, умноженной на $\sqrt{3}/2$.

3. Определение сторон треугольника:

   • Пусть гипотенуза AB = x см. Тогда:

     • AC = $\frac{x}{2}$,

     • BC = $\frac{x \sqrt{3}}{2}$.

4. Используем свойство биссектрисы:

   • Биссектриса BM делит угол B пополам, то есть углы B1 и B2 равны по 30°. Также она делит противоположную сторону AC на два отрезка, которые пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

   По теореме о биссектрисе:

   $$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}.$$

   Подставим известные выражения для сторон:

   $$\frac{AM}{MC} = \frac{x}{\frac{x \sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$$

5. Использование длины биссектрисы BM:
   Длина биссектрисы BM в треугольнике с углами 30° и 60° может быть вычислена по формуле:

   $$BM = \sqrt{AB \cdot BC \cdot \left( 1 - \frac{AC^2}{AB^2 + BC^2} \right)}.$$

   Однако для нахождения AC достаточно решить задачу с использованием теоремы о биссектрисе и тригонометрии.

Решение покажет, что катет AC = 3 см.