В кубе abcda1b1c1d1 точка м - центр грани AA1B1B. найдите угол между векторами DM и C1B.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с центром точки $M$, находящейся на грани $AA_1B_1B$. Векторы, между которыми нам нужно найти угол — это вектор $\overrightarrow{DM}$ и вектор $\overrightarrow{C_1B}$. Чтобы решить задачу, сначала необходимо записать координаты всех соответствующих точек.

1. Обозначим координаты точек:

Предположим, что куб расположен в трёхмерной системе координат так, что:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(1, 0, 0)$,
• $C(1, 1, 0)$,
• $D(0, 1, 0)$,
• $A_1(0, 0, 1)$,
• $B_1(1, 0, 1)$,
• $C_1(1, 1, 1)$,
• $D_1(0, 1, 1)$.

2. Найдём координаты точки $M$:

Точка $M$ — это центр грани $AA_1B_1B$, которая является прямоугольником. Чтобы найти координаты $M$, нужно усреднить координаты четырёх вершин этой грани:

• $A(0, 0, 0)$,
• $A_1(0, 0, 1)$,
• $B_1(1, 0, 1)$,
• $B(1, 0, 0)$.

Среднее арифметическое координат этих точек:

• $M_x = \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$,
• $M_y = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4} = 0$,
• $M_z = \frac{0 + 1 + 1 + 0}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Значит, точка $M$ имеет координаты $M(0.5, 0, 0.5)$.

3. Найдём векторы:

Теперь запишем векторы $\overrightarrow{DM}$ и $\overrightarrow{C_1B}$.

Вектор $\overrightarrow{DM}$:

• $D(0, 1, 0)$,
• $M(0.5, 0, 0.5)$.

Координаты вектора $\overrightarrow{DM} = M - D = (0.5 - 0, 0 - 1, 0.5 - 0) = (0.5, -1, 0.5)$.

Вектор $\overrightarrow{C_1B}$:

• $C_1(1, 1, 1)$,
• $B(1, 0, 0)$.

Координаты вектора $\overrightarrow{C_1B} = B - C_1 = (1 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (0, -1, -1)$.

4. Найдём угол между векторами:

Угол между векторами можно найти через скалярное произведение: