AB и CD имеют общую середину O. Докажите, что угол DAO = угол CBO.

Решение через центральную симметрию.

Пусть $O$ — общая середина отрезков $AB$ и $CD$, то есть $OA=OB$ и $OC=OD$, причём точки $O$ лежат на отрезках $AB$ и $CD$.

Рассмотрим преобразование — поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$ (то же самое, что центральная симметрия относительно $O$). Для любой точки $X$ оно переводит её в точку $X'$ так, что $O$ — середина $XX'$. Следовательно,

Поворот сохраняет величины углов. При этом:

• луч $AO$ переходит в луч $OB$;

• луч $AD$ переходит в луч $CB$.

Значит образ угла $\angle DAO$ при этом повороте — это угол $\angle CBO$. Так как поворот сохраняет величины углов, получаем

Что и требовалось доказать.