1)Отрезки PQ и RS имеют общую середину . Докажите что PS=RQ и PR=SQ
2)Дан угол BOA между точками B и O взята точка M а между точками A и O взята точка N,так что OM=ON угол OMA=углу ONB.Доказать что угол B=углу A и BN=MA

1. Отрезки PQ и RS имеют общую середину. Докажите, что PS = RQ и PR = SQ.

Предположим, что отрезки PQ и RS имеют общую середину. Пусть точка O — это середина обоих отрезков, то есть $O$ является серединой отрезка $PQ$ и серединой отрезка $RS$. Обозначим длины отрезков PQ и RS как:

• $P$ и $Q$ — концы отрезка $PQ$,
• $R$ и $S$ — концы отрезка $RS$.

Поскольку точка O является серединой отрезков PQ и RS, то мы знаем, что:

• $PO = OQ$ (половины отрезка PQ),
• $RO = OS$ (половины отрезка RS).

Теперь, чтобы доказать равенство $PS = RQ$ и $PR = SQ$, рассмотрим геометрическую симметрию. Из того, что $O$ — общая середина, можно увидеть, что треугольники $POR$ и $QOS$ являются равными по определению симметрии относительно прямой, проходящей через точку O. Эти треугольники имеют одинаковые стороны и углы, что дает равенства $PS = RQ$ и $PR = SQ$.

2. Дан угол BOA между точками B и O, взята точка M, а между точками A и O — точка N, так что $OM = ON$, угол OMA равен углу ONB. Докажите, что угол B = угол A и BN = MA.

Для доказательства этого утверждения начнем с анализа геометрической ситуации. Пусть угол $\angle BOA$ — это угол между отрезками OB и OA. Пусть $M$ — точка на отрезке OB, а $N$ — точка на отрезке OA. Из условия задачи известно, что:

• $OM = ON$ (т.е. отрезки OM и ON равны),
• угол $\angle OMA = \angle ONB$ (углы между отрезками).

Теперь давайте рассмотрим треугольники $OMA$ и $ONB$. Эти треугольники имеют равные стороны $OM = ON$ и одинаковые углы $\angle OMA = \angle ONB$. Следовательно, треугольники $OMA$ и $ONB$ являются равными по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как эти треугольники равны, то по свойствам равных треугольников мы получаем, что $MA = BN$. Далее, равенство углов $\angle BOA = \angle AOB$ вытекает из того, что углы между одинаковыми отрезками и противоположными углами, принадлежащими одинаковым точкам, всегда равны. Таким образом, мы доказали, что:

• $\angle B = \angle A$,
• $BN = MA$.