Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите основания трапеции и радиус вписанной окружности.

Раз трапеция равнобокая и в неё вписана окружность, то это касательная четырёхугольник. Для такого четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны:

Здесь $a,c$ — основания, $b=d$ — боковые стороны. Значит

У вписанной окружности от каждой вершины длины касательных к двум прилежащим сторонам равны. Обозначим на верхнем основании $AB$ (меньшем) отрезки касания $x$ и $x$ (по симметрии), на нижнем основании $CD$ — $t$ и $t$. Тогда

На левой боковой стороне эти же длины дают разбиение на $x$ (со стороны верхнего основания) и $t$ (со стороны нижнего). По условию боковая сторона разбита на $8$ см и $18$ см, значит $\{x,t\}=\{8,18\}$. Следовательно,

Так как нижнее основание длиннее, получаем

Осталось найти радиус вписанной окружности $r$. Высота $h$ равнобокой трапеции с вписанной окружностью равна удвоенному радиусу (центр окружности посередине между основаниями):

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и половиной разности оснований, длина боковой стороны

Отсюда $h^2=26^2-10^2=676-100=576$, значит $h=24$ и

Ответ: основания $16$ см и $36$ см, радиус вписанной окружности $12$ см.