Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Основания трапеции равны 7 см и 13 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть трапеция $ABCD$ равнобокая, основания $AD$ и $BC$ параллельны, причем
$AD = 13$ см (большее основание), $BC = 7$ см (меньшее основание). Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим систему координат и удобно расположим трапецию:

• Точку $A$ поместим в начало координат: $A(0, 0)$.

• Точку $D$ на ось $x$: $D(13, 0)$, так как $AD = 13$.

• Поскольку трапеция равнобокая, её верхнее основание $BC$ расположено симметрично относительно середины основания $AD$.

Середина основания $AD$ имеет координаты:

Пусть высота трапеции равна $h$. Тогда середина верхнего основания $BC$ — точка $(6{,}5, h)$.

Длина верхнего основания $BC = 7$. Половина этого отрезка — $3{,}5$. Значит, точки $B$ и $C$ имеют координаты:

Теперь найдём векторы диагоналей:

• Диагональ $AC$: из точки $A(0,0)$ в точку $C(10,h)$.
  Вектор $\vec{AC} = (10,\ h)$.

• Диагональ $BD$: из точки $B(3,h)$ в точку $D(13,0)$.
  Вектор $\vec{BD} = (13 - 3,\ 0 - h) = (10,\ -h)$.

По условию диагонали взаимно перпендикулярны, значит, скалярное произведение векторов равно нулю:

Считаем скалярное произведение:

Приравниваем к нулю:

Теперь найдём площадь трапеции. Формула площади трапеции:

где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Подставляем:

Ответ: площадь трапеции равна $100\ \text{см}^2$.