В треугольнике ABC AB=BC=25, AC=48. BD перпендикулярна плоскости ABC, BD=√15. Найти расстояние от точки D до прямой AC.

Рассмотрим задачу по шагам.

Дано:

• В треугольнике $ABC$:

  $$AB = BC = 25,\quad AC = 48$$

  То есть треугольник равнобедренный с основанием $AC$.

• Точка $D$ такова, что

  $$BD \perp \text{плоскости } ABC,\quad BD = \sqrt{15}$$

• Требуется найти расстояние от точки $D$ до прямой $AC$.

1. Найдём расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ в треугольнике $ABC$

Расстояние от вершины $B$ до стороны $AC$ — это высота $BH$, опущенная из $B$ на сторону $AC$.

Сначала найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.

Полупериметр:

Площадь:

С другой стороны, площадь через высоту к стороне $AC$:

Отсюда:

То есть расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $7$.

2. Используем перпендикулярность $BD$ к плоскости треугольника

Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, а отрезок $BD$ перпендикулярен ко всей плоскости $ABC$. Значит, $BD$ перпендикулярен и любой прямой в этой плоскости, в частности прямой $AC$.

Рассмотрим проекцию точки $D$ на плоскость $ABC$. Так как $BD$ перпендикулярна плоскости, проекцией точки $D$ на плоскость будет точка $B$.

Теперь расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ можно рассматривать в трёхмерном пространстве как гипотенузу прямоугольного треугольника, где:

• одна катет — расстояние от проекции $D$, то есть от точки $B$, до прямой $AC$: это $BH = 7$;

• второй катет — высота $BD = \sqrt{15}$, перпендикулярная плоскости.

Обозначим искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ через $d$. Тогда:

Ответ

Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно