Диагональ трапеции является биссектрисой одного из её углов. Докажите, что две стороны этой трапеции равны.

Обозначения примем такие: трапеция $ABCD$, $AB \parallel CD$, боковые стороны $AD$ и $BC$. Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой угла при вершине $A$, то есть угла $\angle DAB$.

Запишем это условие:

Теперь используем параллельность оснований $AB \parallel CD$. Диагональ $AC$ пересекает прямые $AB$ и $CD$, поэтому углы между диагональю и этими параллельными прямыми равны как соответствующие (или накрест лежащие) углы. То есть:

У нас теперь есть две равенства для углов:

отсюда

Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём мы получили, что углы при вершинах $A$ и $C$ равны:

Если в треугольнике два угла равны, то равны и лежащие напротив них стороны. В треугольнике $ACD$ напротив угла при $A$ лежит сторона $CD$, а напротив угла при $C$ лежит сторона $AD$. Значит,

Таким образом, действительно, две стороны трапеции оказались равны: боковая сторона $AD$ и основание $CD$. Что и требовалось доказать.