Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а высота, проведённая к ней, равна 2. Найдите меньший катет этого треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, гипотенузу через $c$, а высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу, через $h$.

По условию:

• $c = 5$,

• $h = 2$,

• нужно найти меньший катет — пусть это будет $a$ (то есть $a \le b$).

1. Используем формулу площади

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через катеты:

2. Через гипотенузу и высоту к ней:

Приравниваем:

Подставляем $c = 5$, $h = 2$:

Итак, имеем первое уравнение:

2. Теорема Пифагора

Для катетов и гипотенузы:

Это второе уравнение:

3. Находим сумму и разность катетов

Рассмотрим выражения $(a + b)^2$ и $(a - b)^2$.

Сначала найдём $(a + b)^2$:

Подставляем из (1) и (2):

Тогда:

значит:

Теперь найдём $(a - b)^2$:

следовательно:

Так как мы договорились, что $a \le b$, то:

4. Решаем систему для $a$ и $b$

Имеем систему:

Сложим уравнения:

Тогда: