Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см и 8 см. Через вершину С проходит плоскость параллельная АВ. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 45 градусов. Найдите синус угла, который образует с ней его другой катет.

Давайте решим задачу пошагово.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где катеты СА и СВ равны 6 см и 8 см соответственно, а угол между катетом СА и плоскостью, проходящей через вершину С и параллельной стороне АВ, равен 45°.

Нам нужно найти синус угла, который образует катет СВ с этой плоскостью.

Шаг 1. Векторное представление катетов

Пусть вектор СА — это вектор, направленный вдоль одного из катетов, и вектор СВ — это вектор вдоль другого катета. Для удобства возьмём систему координат с точкой С в начале координат:

• Вектор СА = (6, 0, 0) — вдоль оси x.
• Вектор СВ = (0, 8, 0) — вдоль оси y.

Шаг 2. Определим угол между вектором СА и плоскостью

Плоскость, проходящая через точку С и параллельная стороне АВ, будет перпендикулярна вектору, который направлен вдоль этой стороны (вектор АВ). Для начала найдём вектор АВ.

Так как треугольник прямоугольный, катет АВ можно вычислить с помощью теоремы Пифагора:

Теперь вектор АВ можно записать как (6, 8, 0), потому что АВ — это диагональ прямоугольного треугольника, который соединяет точки A и B.

Плоскость, параллельная стороне АВ, будет перпендикулярна нормальному вектору, который будет направлен вдоль вектора АВ.

Шаг 3. Используем угол 45 градусов

Из условия задачи известно, что катет СА образует с плоскостью угол 45°. Мы можем использовать скалярное произведение для нахождения угла между векторами. Скалярное произведение двух векторов A и B даёт формулу:

где $\theta$ — угол между векторами.

Так как катет СА образует угол 45° с плоскостью, угол между вектором СА и нормальным к плоскости вектором АВ равен 45°. Площадь скалярного произведения векторов СА и АВ будет равна:

Скалярное произведение для этих векторов будет:

Теперь найдём синус угла между вектором СВ и плоскостью. Вектор СВ образует с плоскостью угол, который нужно найти. Сначала найдём нормальный вектор плоскости.