Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, равного половине гипотенузы.

Чтобы доказать, что катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как $c$, а катеты как $a$ и $b$, причем пусть $a = \frac{c}{2}$.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, которая утверждает, что:

Подставим $a = \frac{c}{2}$ в это равенство:

Упростим:

Теперь, чтобы изолировать $b^2$, вычитаем $\frac{c^2}{4}$ из обеих сторон:

Приводим к общему знаменателю:

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

Таким образом, второй катет $b$ будет равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы $c$. Это доказательство показывает, что если один из катетов равен половине гипотенузы, то второй катет обязательно будет равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы, что соответствует соотношению катетов для треугольника с углом 30 градусов.