СРОЧНО! Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 см и составляет с образующей угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. (С РИСУНКОМ)​

Для решения задачи начнем с анализа осевого сечения цилиндра. Осевое сечение — это прямоугольник, одна из сторон которого является высотой цилиндра $h$, а другая — диаметром его основания $2r$. Из условия известно, что диагональ этого сечения равна 6 см и составляет угол 60° с образующей цилиндра.

Шаг 1: Определим высоту и радиус цилиндра

Обозначим высоту цилиндра через $h$, радиус основания через $r$, а диагональ осевого сечения через $d$. Нам дано, что диагональ $d = 6$ см и угол между образующей (диагональю) и высотой цилиндра равен 60°.

По теореме Пифагора для прямоугольника осевого сечения:

Подставим значение диагонали:

Угол 60° — это угол между диагональю и образующей (которая совпадает с высотой $h$ цилиндра). Используем тригонометрические соотношения для этого угла. По определению косинуса:

Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

Теперь, подставив $h = 3$ в уравнение (1), найдем радиус:

Шаг 2: Найдем площадь полной поверхности цилиндра

Полная поверхность цилиндра состоит из двух кругов и боковой поверхности.

1. Площадь двух оснований (кругов):

Подставляем $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$:

2. Площадь боковой поверхности:

Подставляем значения $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $h = 3$:

Шаг 3: Найдем полную площадь поверхности цилиндра

Суммируем площади оснований и боковой поверхности: