Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см², площадь основания равна 8 см². Вычислите высоту и

Ответы на вопрос

Отвечает Руденко Егор.

Найдём по данным радиус, высоту и площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначения:

Даны:

S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 8 \ \text{см}^2

S_{\text{осев}} = 2rh = 16 \ \text{см}^2

Из площади основания:

\pi r^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{8}{\pi}

Из площади осевого сечения:

2rh = 16 \quad \Rightarrow \quad rh = 8 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{8}{r}

Возведём в квадрат, чтобы избавиться от корня позже:

h^2 = \frac{64}{r^2}

Подставим найденное $r^2 = \dfrac{8}{\pi}$ :

h^2 = \frac{64}{\frac{8}{\pi}} = 64 \cdot \frac{\pi}{8} = 8\pi

Отсюда:

h = \sqrt{8\pi} = 2\sqrt{2\pi} \ \text{см}

Площадь боковой поверхности цилиндра:

S_{\text{бок}} = 2\pi r h

Удобно сначала найти $r^2 h^2$ , чтобы не подставлять корни вручную:

(rh)^2 = 8^2 = 64

Также уже нашли:

r^2 = \frac{8}{\pi}, \quad h^2 = 8\pi

Проверим:

r^2 h^2 = \frac{8}{\pi} \cdot 8\pi = 64 \quad (\text{совпадает с } (rh)^2)

Теперь:

S_{\text{бок}} = 2\pi r h

Возведём в квадрат:

S_{\text{бок}}^2 = 4\pi^2 r^2 h^2 = 4\pi^2 \cdot 64 = 256\pi^2

Тогда:

S_{\text{бок}} = 16\pi \ \text{см}^2

(берём положительное значение, так как площадь не может быть отрицательной).

Ответ:

Высота цилиндра: $\displaystyle h = 2\sqrt{2\pi}\ \text{см}$ .
Площадь боковой поверхности: $\displaystyle S_{\text{бок}} = 16\pi\ \text{см}^2$ .

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см², площадь основания равна 8 см². Вычислите высоту и площадь боковой поверхности цилиндра.