1. В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см. Найдите сторону треугольника. 2. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Найдите стороны AB и CD, если BC = 6 см, AD = 9 см, AB в два раза больше, чем CD.

1. В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см. Найдем сторону треугольника.

Для равностороннего треугольника существует связь между его стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$. Она выражается формулой:

где $r$ — радиус вписанной окружности, $a$ — длина стороны треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что радиус окружности $r = 4$ см. Подставляем это значение в формулу:

Теперь решим уравнение относительно $a$:

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

Таким образом, сторона треугольника равна $8 \sqrt{3}$ см, что примерно равно 13,86 см.

2. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Найдем стороны AB и CD, если BC = 6 см, AD = 9 см, AB в два раза больше, чем CD.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то для такого четырёхугольника выполняется условие: сумма противоположных сторон равна друг другу. То есть:

Подставляем известные значения:

Кроме того, нам сказано, что $AB$ в два раза больше, чем $CD$, то есть:

Теперь подставим это выражение в уравнение для суммы сторон:

Таким образом, $CD = 5$ см. Поскольку $AB = 2 \times CD$, то:

Ответ: сторона $AB$ равна 10 см, а сторона $CD$ равна 5 см.