Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольного треугольника к диагонали, делит ее на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Давайте разберем задачу поэтапно.

У нас есть прямоугольный треугольник, и из вершины прямого угла проведен перпендикуляр к гипотенузе (диагонали). Этот перпендикуляр делит гипотенузу на два отрезка длиной 2 см и 8 см. Нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника.

Обозначим:

• длину одного отрезка гипотенузы как $a = 2$ см,

• длину другого отрезка гипотенузы как $b = 8$ см.

Итак, длина всей гипотенузы будет равна $c = a + b = 2 + 8 = 10$ см.

Теперь воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника с перпендикуляром, проведенным из вершины прямого угла к гипотенузе. Существует теорема, согласно которой площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины отрезков, на которые гипотенуза делится перпендикуляром.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через длины отрезков $a$ и $b$ следующим образом:

Подставим значения:

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 4 см².