В равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, периметр равен 80, а площадь 320. Найдите расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания.

Обозначим основания $a>b$, боковые стороны $c=c$, высоту $h$.

Для трапеции с вписанной окружностью выполняется $a+b=2c$.
Периметр $P=a+b+2c=80\Rightarrow 4c=80\Rightarrow c=20$.
Тогда $a+b=40$.

Площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=320\Rightarrow 20h=320\Rightarrow h=16$.

В равнобедренной трапеции

Отсюда:

Совместно с $a+b=40$ получаем $a=32,\; b=8$.

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. В трапеции точка пересечения делит высоту в отношении оснований: расстояние от $O$ до меньшего основания равно

Ответ: $\displaystyle \frac{16}{5}$.