Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка М такая, что угол МВС равен 30°, угол МСВ равен 10°. Найти угол АМС, если угол ВАС равен 80°.

Ответ: $\angle AMC=70^\circ$.

Обоснование. Пусть $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, $\angle BAC=80^\circ$. Тогда $\angle B=\angle C=\dfrac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$.

Точка $M$ выбрана так, что

Обозначим $\angle BAM=x$. Тогда $\angle CAM=80^\circ-x$.

Применим тригонометрическую теорему Чевы к треугольнику $ABC$ с пересекающимися в $M$ лучами $BM,\,CM,\,AM$:

Подставляя известные углы, получаем

Используя $2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$ и $\sin 30^\circ=\tfrac12$, правая часть упрощается до

Прямая проверка показывает, что равенство выполняется при $x=10^\circ$ (и в данном диапазоне это единственное решение), т.е.

Теперь найдём $\angle AMC$. В треугольнике $ACM$

поэтому