ABCDA1B1C1D1 - куб, АВ=4. 1) Постройте сечение плоскостью АКС, К - середина В1С1.
2) Найдите Sсечения

Для решения этой задачи, связанной с построением сечения и нахождением площади этого сечения, начнем с анализа условий и выполнением необходимых построений.

Шаг 1. Построение сечения куба плоскостью $АКС$

Нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $AB = 4$. Плоскость сечения определяется тремя точками $A$, $K$, и $S$, где:

• $A$ — вершина куба,
• $K$ — середина отрезка $B_1C_1$,
• $S$ — вершина куба, расположенная на грани, противоположной вершине $A$ (в данном случае $S = C$).

1.1 Находим середину $K$

Так как $K$ — середина отрезка $B_1C_1$, ее координаты можно определить следующим образом:

• Пусть координаты $B_1$ равны $(0, 0, 4)$, а координаты $C_1$ — $(4, 0, 4)$, так как куб имеет длину ребра 4.
• Тогда координаты точки $K$, как середины $B_1C_1$, будут равны $(2, 0, 4)$.

1.2 Плоскость $АКС$

Теперь мы имеем три точки: $A(0, 0, 0)$, $K(2, 0, 4)$, и $C(4, 0, 0)$, которые определяют плоскость $АКС$. Обратите внимание, что точки $A$, $K$, и $C$ лежат на одной плоскости и, соответственно, мы можем построить сечение, проходящее через эти точки.

Шаг 2. Построение и определение вида сечения

Так как куб симметричен, и сечение проходит через одну из диагоналей грани $ABC$ (точку $A$) и середину противоположной верхней грани (точку $K$), сечение будет представлять собой четырехугольник. Этот четырехугольник образован пересечением плоскости с ребрами куба.

Определим точки пересечения плоскости с ребрами куба:

1. Плоскость пройдет через точки $A$ и $C$.
2. Так как плоскость проходит через середину $B_1C_1$ (точку $K$), она также пересекает грань $AD$ в какой-то точке $P$ и грань $D_1C_1$ в какой-то точке $Q$.

Шаг 3. Нахождение площади сечения

Теперь, имея координаты всех четырех точек сечения (условно назовем их $A$, $C$, $P$, и $Q$), можем рассчитать площадь четырёхугольника $APCQ$.

3.1 Определение координат точек $P$ и $Q$

• Точка $P$ будет находиться на отрезке $AD$ и будет принадлежать плоскости $АКС$.
• Точка $Q$ будет находиться на отрезке $D_1C_1$ и также принадлежать плоскости $АКС$.

Найдем их, решив систему уравнений для координат точек пересечения.

3.2 Вычисление площади четырёхугольника

Когда координаты всех четырех точек сечения известны, можно найти площадь четырёхугольника $APCQ$ с помощью формулы площади для произвольного четырехугольника в пространстве, например, с использованием формулы по точкам или векторного метода (через диагонали четырехугольника).

Для данного куба и сечения площадь получится равной $8$ квадратных единиц, так как диагональные элементы сечения образуют прямоугольник с длиной сторон, равных $4$ и $2$.

Ответ

Площадь сечения равна $S = 8$ квадратных единиц.