Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Чтобы найти площадь сечения шара плоскостью, проведённой под углом к его диаметру, воспользуемся геометрическими свойствами шара и тригонометрией.

Шаг 1. Определение радиуса шара

Диаметр шара равен $4$ м. Радиус шара $R$ — это половина диаметра, следовательно:

Шаг 2. Нахождение расстояния от центра шара до плоскости

Плоскость проходит через конец диаметра шара и образует угол $30^\circ$ с самим диаметром. Это значит, что расстояние от центра шара до плоскости можно найти, умножив радиус на косинус угла между плоскостью и диаметром (угол между радиусом и проекцией перпендикуляра из центра шара на плоскость). Обозначим это расстояние за $d$.

Так как угол составляет $30^\circ$, то:

Шаг 3. Нахождение радиуса сечения

Сечение шара плоскостью — это круг, и его радиус $r$ можно найти по теореме Пифагора для радиуса шара $R$, расстояния $d$ от центра до плоскости и радиуса сечения $r$:

Подставим известные значения:

Шаг 4. Нахождение площади сечения

Площадь сечения шара, которая является площадью круга радиуса $r$, можно найти по формуле площади круга:

Подставим значение радиуса сечения:

Ответ

Площадь сечения шара плоскостью, проведённой под углом $30^\circ$ к его диаметру, равна $\pi$ квадратных метров.