Сторона квадрата АВСД равна а. через сторону АД проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от В а)найдите расстояние от т.С до плоскости. б) покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВАДМ,в) найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью

(ответ с рисунком)

Задача касается квадрата $ABCD$ с длиной стороны $a$, через сторону $AD$ проведена плоскость $\alpha$ на расстоянии $a/2$ от вершины $B$. Давайте рассмотрим решение шаг за шагом.

1. Найдем расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$.

Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$ на расстоянии $a/2$ от вершины $B$. Поскольку квадрат расположен в плоскости, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Чтобы найти расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, определим координаты всех точек.

Предположим, что квадрат лежит в плоскости $xy$, при этом:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(a, 0, 0)$,
• $D(0, a, 0)$,
• $C(a, a, 0)$.

Теперь давайте определим уравнение плоскости $\alpha$. Она проходит через точку $D(0, a, 0)$ и на расстоянии $a/2$ от точки $B(a, 0, 0)$, что дает ей наклон относительно оси $z$.

Для удобства возьмем вектор нормали к плоскости $\alpha$. Так как плоскость параллельна оси $AD$, она будет перпендикулярна линии, проходящей через $B$ и точку на плоскости $AD$. Уравнение плоскости можно записать в виде:

Подставляя координаты точки $C$, $C(a, a, 0)$, в это уравнение, находим, что расстояние от точки $C$ до плоскости равно $a/2$.

2. Покажем на рисунке линейный угол двугранного угла $VADM$.

Чтобы найти линейный угол двугранного угла $VADM$, сначала заметим, что двугранный угол — это угол между двумя плоскостями. В данном случае одна плоскость — это плоскость квадрата $ABCD$, а другая плоскость — это плоскость $\alpha$, которая проходит через сторону $AD$. Линейным углом такого двугранного угла является угол между пересекающимися прямыми $VA$ и $DM$, где точка $M$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой, перпендикулярной $AD$.

На рисунке линейный угол будет выглядеть как угол между наклонной линией, проведённой от точки $V$ к линии $AD$, и вертикальной проекцией.

3. Найдем синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью $\alpha$.

Для нахождения синуса угла между плоскостью квадрата $ABCD$ и плоскостью $\alpha$, нужно определить угол между их нормальными векторами. Плоскость квадрата лежит в $xy$-плоскости, поэтому её нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

Для плоскости $\alpha$ её нормаль направлена перпендикулярно к прямой $BD$ и проходит через точку $(a, 0, a/2)$. Уравнение плоскости имеет нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 0, -\frac{1}{2})$.

Теперь находим косинус угла между этими векторами:

Синус угла между плоскостями будет равен: