Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость а на расстоянии а/2 от точки B.
а) найдите расстояние от точки С до плоскости а.
б) покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM,M принадлежит а
в) найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью а.

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим её по частям.

Дано:

• Квадрат ABCD с длиной стороны $a$.
• Плоскость $a$ проведена через сторону $AD$ на расстоянии $\frac{a}{2}$ от точки $B$.

Часть а: Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $a$.

1. Определение координат точек квадрата:

   • Пусть точка $A(0, 0, 0)$
   • Точка $B(a, 0, 0)$
   • Точка $C(a, a, 0)$
   • Точка $D(0, a, 0)$

2. Уравнение плоскости $a$: Плоскость, проходящая через точку $D(0, a, 0)$ и перпендикулярная к оси $Z$, имеет уравнение вида:

   $$z = \frac{a}{2}$$

3. Расстояние от точки $C$ до плоскости: Чтобы найти расстояние от точки $C(a, a, 0)$ до плоскости, используем формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

   $$\text{Расстояние} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

   Здесь, подставим:

   • $A = 0, B = 0, C = 1, D = -\frac{a}{2}$
   • $(x_0, y_0, z_0) = (a, a, 0)$

   Подставляем в формулу:

   $$\text{Расстояние} = \frac{|0 \cdot a + 0 \cdot a + 1 \cdot 0 - \frac{a}{2}|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{a}{2}|}{1} = \frac{a}{2}$$

   Таким образом, расстояние от точки $C$ до плоскости $a$ равно $\frac{a}{2}$.

Часть б: Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла $BADM$, $M$ принадлежит $a$.

1. Определение точки $M$: Поскольку плоскость $a$ находится на расстоянии $\frac{a}{2}$ от точки $B$, точка $M$ может быть выбрана как $M(a, 0, \frac{a}{2})$.

2. Рисунок:

   • На рисунке обозначим квадрат ABCD в плоскости $z=0$.
   • Линия $AB$ будет находиться на оси $X$, а линия $AD$ на оси $Y$.
   • Обозначим точку $M$ над линией $AD$ на высоте $\frac{a}{2}$.

Часть в: Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью $a$.

1. Нормали плоскостей:

   • Нормаль к плоскости квадрата $ABCD$ будет направлена вдоль оси $Z$, то есть $(0, 0, 1)$.
   • Нормаль к плоскости $a$ будет $(0, 0, 1)$, поскольку она также перпендикулярна оси $Z$.

2. Вычисление угла: Поскольку обе нормали одинаковы, угол между ними равен $0^\circ$.

3. Синус угла:

   $$\sin(0^\circ) = 0$$

Таким образом, синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью $a$ равен $0$.

Результаты:

• Расстояние от $C$ до плоскости $a$: $\frac{a}{2}$