1) В прямоугольной трапеции тупой угол больше острого в 5 раз. Вычислите углы трапеции. 2) В трапеции АВСД (АД, ВС — основания) О — точка пересечения диагоналей. Отрезки ОА и ОД равны. Доказать, что АВ=СД.

1. В прямоугольной трапеции тупой угол больше острого в 5 раз. Вычислим углы трапеции.

Обозначим острый угол через $\alpha$. Тупой угол будет равен $5\alpha$, так как он в 5 раз больше острого. Напоминаем, что в прямоугольной трапеции один из углов всегда прямой, то есть он равен $90^\circ$. Теперь, используя свойства углов трапеции, получим следующее:

• Пусть угол при основании $AD$ будет острым и равен $\alpha$.

• Тогда угол при основании $BC$, соответственно, будет тупым и равен $5\alpha$.

В трапеции сумма углов на одной стороне (например, угол $\angle DAB$ и угол $\angle BCD$) всегда составляет $180^\circ$. Угол $\angle DAB$ — это прямой угол, равный $90^\circ$. Угол $\angle BCD$ равен $5\alpha$.

Так как сумма углов на одной стороне трапеции равна $180^\circ$, мы имеем:

Решим это уравнение:

Значит, острый угол равен $18^\circ$, а тупой угол, соответственно, будет $5 \times 18^\circ = 90^\circ$. Таким образом, углы трапеции составляют: два угла по $90^\circ$ (прямые углы) и два угла по $18^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ:

• Острый угол: $18^\circ$.

• Тупой угол: $90^\circ$.

2. В трапеции ABCD (АД, ВС — основания) О — точка пересечения диагоналей. Отрезки OA и OD равны. Нужно доказать, что $AB = CD$.

Пусть диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Дано, что отрезки $OA = OD$. Необходимо доказать, что $AB = CD$.

Воспользуемся свойствами трапеции и теоремой о равенстве отрезков пересекающихся диагоналей. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $DCO$.

1. В этих треугольниках угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ODC$, так как они являются вертикальными углами (при пересечении диагоналей).

2. Отрезки $OA = OD$ по условию задачи.

3. Отрезки $AB$ и $CD$ — это стороны трапеции, и из-за симметрии относительно точки пересечения диагоналей они будут равны.

Таким образом, треугольники $ABO$ и $DCO$ равны по признаку двух сторон и угла между ними. Следовательно, $AB = CD$.