В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, нужно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности через площадь треугольника и полупериметр.

1. Шаг 1: Находим полупериметр треугольника.
   Полупериметр $p$ равен половине периметра треугольника. Периметр треугольника $P$ равен сумме всех его сторон. Для равнобедренного треугольника с основанием $a = 10$ см и боковой стороной $b = 13$ см:

   $$P = a + 2b = 10 + 2 \times 13 = 36 \, \text{см}$$

   Тогда полупериметр $p$ равен:

   $$p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}$$

2. Шаг 2: Находим площадь треугольника.
   Для этого можно использовать формулу Герона. Площадь $S$ треугольника выражается как:

   $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

   где $a = 10$, $b = 13$, и $c = 13$ — длины сторон, а $p = 18$ — полупериметр. Подставим значения:

   $$S = \sqrt{18(18 - 10)(18 - 13)(18 - 13)} = \sqrt{18 \times 8 \times 5 \times 5} = \sqrt{18 \times 200} = \sqrt{3600} = 60 \, \text{см}^2$$

3. Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности.
   Радиус $r$ вписанной окружности можно найти по формуле:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   где $S = 60 \, \text{см}^2$ — площадь треугольника, а $p = 18 \, \text{см}$ — полупериметр. Подставляем значения:

   $$r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \text{см}$$

Ответ: радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен примерно 3.33 см.