В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к ней, 12 см. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Жуков Савелий.

В данной задаче нам нужно найти два радиуса окружностей: вписанной и описанной около равнобедренного треугольника. Дано, что основание треугольника равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, равна 12 см.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника

Для начала вычислим длину боковой стороны $a$ равнобедренного треугольника. Мы знаем, что высота делит основание пополам, то есть одна половина основания будет равна 5 см. Теперь можем применить теорему Пифагора к правому треугольнику, где гипотенуза — это боковая сторона $a$ , одна из катетов — это высота (12 см), а другой катет — половина основания (5 см).

Используем теорему Пифагора:

a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

Отсюда:

a = \sqrt{169} = 13 \text{ см}

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления радиусов.

Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле:

r = \frac{S}{p}

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр.

Площадь треугольника:

Площадь можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника:

S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \, \text{см}^2

Полупериметр треугольника:

Полупериметр $p$ можно вычислить как половину суммы всех сторон треугольника:

p = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:

r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \text{см}

Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

R = \frac{abc}{4S}

где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь.

Для нашего треугольника:

$a = b = 13$ см,
$c = 10$ см,
$S = 60$ см².

Подставляем значения в формулу:

R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} \approx 7.04 \, \text{см}

Ответ:

Радиус вписанной окружности: примерно 3.33 см.
Радиус описанной окружности: примерно 7.04 см.