1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, равна 48, а основание — 28. Найдите боковую сторону и площадь треугольника. 3. В ромбе диагонали равны 10 и 14. Найдите его площадь и периметр. 4. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 2, а один из углов при нижнем основании — 30 градусов. Меньшее основание равно 5. Найдите площадь трапеции.

Прямоугольный треугольник, катеты 12 и 5. Найти гипотенузу и площадь:

• Для нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике используем теорему Пифагора:

  $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

  где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

  Подставим значения:

  $$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

  Таким образом, гипотенуза равна 13.

• Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

  $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

  Подставляем значения:

  $$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = \frac{1}{2} \times 60 = 30$$

  Площадь треугольника равна 30.

Равнобедренный треугольник, медиана к основанию равна 48, основание — 28. Найти боковую сторону и площадь:

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, делит его пополам. То есть основание делится на две части по 14 (28/2).

• Для нахождения боковой стороны используем теорему Пифагора. В правом треугольнике, образующемся при проведении медианы, катетами будут половина основания и медиана. Боковая сторона будет гипотенузой:

  $$c = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50$$

  Таким образом, боковая сторона равна 50.

• Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле для площади через основание и высоту:

  $$S = \frac{1}{2} \times a \times h$$

  где $a = 28$ — основание, а $h = 48$ — высота (медиана является высотой для треугольников с прямым углом). Подставляем значения:

  $$S = \frac{1}{2} \times 28 \times 48 = \frac{1}{2} \times 1344 = 672$$

  Площадь треугольника равна 672.

Ромб, диагонали 10 и 14. Найти площадь и периметр:

• Площадь ромба вычисляется по формуле:

  $$S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$

  где $d_1 = 10$ и $d_2 = 14$ — диагонали. Подставляем значения:

  $$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 14 = \frac{1}{2} \times 140 = 70$$

  Площадь ромба равна 70.

• Периметр ромба можно найти по формуле:

  $$P = 4 \times a$$

  где $a$ — длина стороны ромба. Чтобы найти сторону ромба, используем теорему Пифагора. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой — стороной ромба:

  $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{14}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$$

  Таким образом, длина стороны равна $\sqrt{74}$